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In mwcwmatematica, e in particolare in mwdageometria analitica e in mwdqgeometria proiettiva, con mwdgsezione conica, o semplicemente mwdwconica, si intende genericamente una mweacurva piana che sia mweqluogo dei mwegpunti ottenibili intersecando la superficie di un mwewcono circolare con un mwfapiano.

Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da mwfgMenecmo ed mwfwApollonio di Perga intorno al mwga200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche: mwgqellisse (la mwggcirconferenza ne è un mwgwcaso degenere), mwhaparabola e mwhqiperbole.

• Definizione: geometria solida

• Definizione: geometria piana

• Coniche ed equazioni quadratiche

• Matrici associate alla conica

• Semiasse e coordinate polari

• Applicazioni

• Derivazione

• Derivazione della parabola

• Derivazione dell'ellisse

• Derivazione dell'iperbole

• Coniche nel piano proiettivo complesso

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Si consideri il mwkwcono circolare retto costituito dalle rette mwlageneratrici che, con il suo asse, formano un angolo di ampiezza mwlq θ θ {\displaystyle \theta } . Si tenga presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette mwlgfalde o mwlwnappe.

A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette mwmqnon degeneri e le mwmgdegeneri.

Per quanto riguarda le prime si può avere:

• l'mwngellisse, ottenuta intersecando il cono con un piano che con il suo asse formi angoli maggiori di mwnw θ θ {\displaystyle \theta } e minori o uguali a mwoa π π / 2 {\displaystyle \pi /2} ; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una mwoqcurva chiusa;

• la mwowcirconferenza, a sua volta caso particolare di ellisse ottenuta dall'intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, e anch'essa curva chiusa;

• la mwpqparabola, ottenuta per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (in questo caso l'angolo formato con l'asse della conica è uguale a mwpg θ θ {\displaystyle \theta } ); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa;

• l'mwqaiperbole, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a mwqq θ θ {\displaystyle \theta } ; anche l'iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti mwqgrami della conica.

Le cosiddette mwraconiche degeneri si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il mwrqvertice del cono:

• il mwsapunto, ottenuto per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo superiore a mwsq θ θ {\displaystyle \theta } ; nella fattispecie, il punto altro non è che il vertice di detto cono;

• la mwswretta, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo uguale a mwta θ θ {\displaystyle \theta } ; la retta ottenuta è una delle generatrici del cono;

• una coppia di rette, ottenute per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a mwtg θ θ {\displaystyle \theta } ; tali due rette si incontrano al vertice del cono e sono bisecate dalla retta ottenuta per intersezione del piano secante con il piano a esso ortogonale e passante per l'asse del cono.

Le sezioni coniche possono essere anche definite basandosi esclusivamente su concetti di mwwwgeometria piana. Siano dati una retta mwxa D {\displaystyle D} , detta mwxqmwxgdirettrice, un punto mwxw F {\displaystyle F} esterno a mwya D {\displaystyle D} , detto mwyqmwygfuoco, ed un numero mwyw e ≥ ≥ 0 {\displaystyle e\geq 0} , detto mwzamwzqeccentricità. Una sezione conica consiste nel luogo dei punti la cui distanza da mwzgmwzw F {\displaystyle F} è uguale al prodotto di mwaa e {\displaystyle e} per la rispettiva distanza da mwaqmwag D {\displaystyle D} , vale a dire mwawmwba M F ¯ ¯ = e M M ′ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {MF}}=e\,{\overline {MM'}}} . Si hanno quindi i seguenti casi:

• ellisse: mwbw 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} ;

• parabola: mwcq e = 1 {\displaystyle e=1} ;

• iperbole: mwcw e > 1 {\displaystyle e>1} ;

• circonferenza: mwdq e → → 0 , M M ′ ¯ ¯ → → ∞ ∞ {\displaystyle e\rightarrow 0,\,{\overline {MM'}}\rightarrow \infty } , vale a dire quando la direttrice mwdg D {\displaystyle D} si trova a distanza infinita e il fuoco mwdw F {\displaystyle F} coincide con il centro della circonferenza;

• il caso limite mweq e → → ∞ ∞ {\displaystyle e\rightarrow \infty } corrisponde alla direttrice.

Si noti che per una ellisse e una iperbole esistono due coppie fuoco + direttrice che descrivono la stessa curva.

Pertanto, l'eccentricità di una sezione conica misura quanto essa si allontana dalla forma circolare e tende, al limite, a una retta. Una dimostrazione che le due definizioni date delle sezioni coniche, in mwfageometria solida e in geometria piana, sono equivalenti, è basata sulle mwfqsfere di Dandelin.

Sempre nell'ambito della geometria piana, le sezioni coniche possono essere definite come luoghi di punti del piano che soddisfano determinate relazioni algebriche. Dati due punti mwfw F , F ′ {\displaystyle F,\,F'} detti fuochi, si hanno i seguenti casi:

• fuochi distinti mwgg F ≠ ≠ F ′ {\displaystyle F\neq F'} :

• ellisse: luogo dei punti tali che la somma delle distanze dai due fuochi è costante e uguale all'asse maggiore 2mwhqa (cfr. oltre),

• iperbole: luogo dei punti tali che la differenza delle distanze dai due fuochi è uguale a 2mwhwa,

• fuochi coincidenti mwiq F = F ′ {\displaystyle F=F'} :

• parabola: luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttricemwja,

• circonferenza: luogo dei punti equidistanti da un punto detto centromwjg.

In aggiunta a fuochi, direttrice ed eccentricità, esistono ulteriori caratteristiche associate alle sezioni coniche.

• mwkgAsse principale: segmento passante per i fuochi di una ellisse o iperbole.

• mwlaCentro: mwlqpunto medio dell'asse principale. Una parabola non ha centro.

• mwlwEccentricità lineare (mwmac): distanza fra il centro e un fuoco.

• mwmgLato retto (mwmw2ℓ): segmento parallelo alla direttrice e passante per un fuoco. La sua metà è detta semi-lato retto (mwnaℓ).

• mwngAsse focale (mwnwp): distanza fra un fuoco e la corrispondente direttrice.

• mwoqAsse maggiore (2mwoga): la corda maggiore per una ellisse, la distanza minima fra i due rami per una iperbole. La sua metà è detta semiasse maggiore (mwowa).

• mwpqAsse minore (2mwpgb): la corda maggiore ortogonale all'asse maggiore per una ellisse. La sua metà è detta semiasse minore (mwpwb).

Valgono le seguenti relazioni:

• mwqw l = p × × e ; {\displaystyle l=p\times e;}

• mwrq c = a × × e ; {\displaystyle c=a\times e;}

• mwrw p + c = a e . {\displaystyle p+c={\frac {a}{e}}.}

Il grafico di ogni mwsgequazione quadratica in due variabili reali, se i coefficienti soddisfano determinate condizioni che preciseremo, individua una sezione conica di un piano cartesiano, cioè di un piano riferito ad un mwswsistema di coordinate cartesiane. Si trova inoltre che tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo.

Se si considera l'equazione quadratica nella forma

mwtw a x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 , {\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}

si ha la seguente casistica:

• se mwvw b 2 − − a c = 0 , {\displaystyle b^{2}-ac=0,} l'equazione rappresenta una mwwaparabola o una conica degenere;

• se mwxa b 2 − − a c < 0 , {\displaystyle b^{2}-ac<0,} l'equazione determina una mwxqellisse;

• se mwya a = c {\displaystyle a=c} e mwyq b = 0 , {\displaystyle b=0,} l'equazione rappresenta una mwygcirconferenza;

• se mwza b 2 − − a c > 0 , {\displaystyle b^{2}-ac>0,} l'equazione rappresenta una mwzqiperbole;

• se mw0a a + c = 0 , {\displaystyle a+c=0,} l'equazione rappresenta una mw0qiperbole equilatera.

mw0wCondizione necessaria affinché la curva sia una circonferenza è che mw1a a = c ∧ ∧ b = 0 {\displaystyle a=c\land b=0} . Vale a dire se mw1q a ≠ ≠ c {\displaystyle a\neq c} l'equazione data non può rappresentare una circonferenza, se invece mw1g a = c {\displaystyle a=c} allora l'equazione potrebbe rappresentare una circonferenza. Ciò implica che, ad esempio, mw1w 2 x 2 + 3 y 2 = 1 {\displaystyle 2x^{2}+3y^{2}=1} non può essere l'equazione di una circonferenza, mentre invece mw2a 2 x 2 + 2 y 2 + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+1=0} potrebbe esserlo, tuttavia mw2q 2 x 2 + 2 y 2 + 1 > 0 ∀ ∀ x , y ∈ ∈ R {\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+1>0\quad \forall x,y\in \mathbb {R} } , perciò non esiste nessun punto che soddisfi l'equazione data.

Sia mw3q Γ Γ {\displaystyle \Gamma } l'equazione associata alla conica tale che mw3g Γ Γ ( x , y ) : a x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 {\displaystyle \Gamma (x,y):ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0} .

Ad essa si associano due mw4amatrici mw4q A {\displaystyle A} e mw4g B {\displaystyle B} mw4wsimmetriche tali che:

mw5q A = [ a b d b c e d e f ] , B = [ a b b c ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}

Nella matrice mw5w A {\displaystyle A} sono rappresentati tutti i coefficiente dell'equazione. Nella diagonale si trovano i coefficienti dei quadrati; nella prima riga e nella prima colonna i termini in cui nell'equazione si trova la variabile mw6a x {\displaystyle x} ; nella seconda riga e nella seconda colonna quelli con mw6q y {\displaystyle y} ; nell'ultima riga e nell'ultima colonna solo quelli con meno di una variabile.

È possibile distinguere i diversi tipi di conica studiando il mw6wdeterminante delle due matrici:

• se mw7g det ( A ) = 0 {\displaystyle \det(A)=0} la conica è mw7wdegenere, cioè può essere o una coppia di mw8arette reali o una coppia di rette complesse coniugate;

• se mw8g det ( A ) ≠ ≠ 0 {\displaystyle \det(A)\neq 0} la conica non è degenere e studiando il determinante della matrice mw8w B {\displaystyle B} si trova che essa è:

• un'mw9gellisse (mw9w det ( B ) > 0 {\displaystyle \det(B)>0} );

• una mw-qparabola (mw-g det ( B ) = 0 {\displaystyle \det(B)=0} );

• un'mw-aiperbole (mw-q det ( B ) < 0 {\displaystyle \det(B)<0} ).

Si definisce mwaqqsemilato retto di una sezione conica mwaqu C {\displaystyle C} un segmento ortogonale all'asse maggiore che ha una estremità nel suo fuoco singolo o in uno dei suoi due fuochi e l'altra in un punto della conica mwaqy C {\displaystyle C} ; la sua lunghezza di solito si denota con mwaqc ℓ ℓ {\displaystyle \ell } . Questa grandezza viene collegata alle lunghezze dei semiassi mwaqg a {\displaystyle a} e mwaqk b {\displaystyle b} dall'uguaglianza mwaqo a ℓ ℓ = b 2 {\displaystyle a\ell =b^{2}} .

In mwaqwcoordinate polari, una sezione conica con un fuoco nell'origine e, se dotata di un secondo fuoco, con questo sul semiasse positivo delle mwaq0x, è determinata dall'equazione

mwara r ( 1 + e cos ⁡ ⁡ θ θ ) = ℓ ℓ , {\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell ,}

dove con mwari r {\displaystyle r} si indica la distanza dall'origine/fuoco.

Le sezioni coniche sono importanti in mwaruastronomia: le mwaryorbite di due corpi (ipotizzando trascurabile l'effetto di altri corpi) che interagiscono secondo la mwarclegge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune mwargcentro di massa considerato a riposo. Se tra di loro si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'attrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli. Si veda in proposito mwarkproblema dei due corpi.

In mwarsgeometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una mwarwtrasformazione proiettiva.

In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici, forse applicati in attività belliche (vedere mwar4specchi ustori) e nella costruzioni di fari di grande portata (vedere mwar8faro di Alessandria).

Consideriamo un cono avente come asse l'asse delle mwasiz e il vertice nell'origine. Esso è determinato dall'equazione

mwasu x 2 + y 2 − − a 2 z 2 = 0 , ( 1 ) {\displaystyle x^{2}+y^{2}-a^{2}z^{2}=0,\qquad \qquad (1)}

dove

mwask a = tan ⁡ ⁡ θ θ > 0 {\displaystyle a=\tan \theta >0}

e mwass θ θ {\displaystyle \theta } denota l'angolo che ogni generatrice del cono forma con l'asse. Si noti che questa equazione individua due superfici una posta al di sopra e l'altra al di sotto del vertice; nel parlare comune ciascuna di queste superfici viene detta cono; i matematici preferiscono parlare di due mwaswnappe la cui unione costituisce il cono e la cui intersezione si riduce al vertice del cono.

Consideriamo un piano mwas4P che interseca il piano mwas8Oxy in una retta parallela all'asse delle mwatay e che interseca il piano mwateOxz in una retta con una certa pendenza; la sua equazione è

mwatq z = m x + b , ( 2 ) {\displaystyle z=mx+b,\qquad \qquad (2)}

dove

mwatg m = tan ⁡ ⁡ ϕ ϕ > 0 {\displaystyle m=\tan \phi >0}

e mwato ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è l'angolo che mwatsP forma con il piano mwatwOxy.

Ci proponiamo di individuare l'intersezione del cono con il piano mwat4P: ciò richiede la combinazione delle due equazioni (1) e (2). Queste si possono risolvere nella variabile mwat8z e le espressioni trovate si possono uguagliare. L'equazione (1) per la mwauaz fornisce

mwaum z = x 2 + y 2 a 2 , {\displaystyle z={\sqrt {x^{2}+y^{2} \over a^{2}}},}

di conseguenza

mwauc x 2 + y 2 a 2 = m x + b . {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2} \over a^{2}}}=mx+b.}

Elevati al quadrato i due membri e sviluppato il mwaukbinomio del membro a destra si ottiene

mwauw x 2 + y 2 a 2 = m 2 x 2 + 2 m b x + b 2 . {\displaystyle {x^{2}+y^{2} \over a^{2}}=m^{2}x^{2}+2mbx+b^{2}.}

Raggruppando le variabili si giunge alla

mwava x 2 ( 1 a 2 − − m 2 ) + y 2 a 2 − − 2 m b x − − b 2 = 0. ( 3 ) {\displaystyle x^{2}\left({1 \over a^{2}}-m^{2}\right)+{y^{2} \over a^{2}}-2mbx-b^{2}=0.\qquad \qquad (3)}

Si noti che questa è l'equazione della proiezione della sezione conica sul piano mwaviOxy; Quindi questa equazione fornisce una figura ottenuta dalla sezione conica mediante una contrazione nella direzione dell'asse delle mwavmx.

Si ottiene una parabola quando la pendenza del piano mwavyP è uguale alla pendenza delle generatrici del cono. In questo caso gli angoli mwavc θ θ {\displaystyle \theta } e mwavg ϕ ϕ {\displaystyle \phi } sono mwavkcomplementari. Questo implica che

mwavw tan ⁡ ⁡ θ θ = cot ⁡ ⁡ ϕ ϕ ; {\displaystyle \tan \theta =\cot \phi ;}

di conseguenza

mwawa m = 1 a . ( 4 ) {\displaystyle m={1 \over a}.\qquad \qquad (4)}

Sostituendo l'equazione (4) nell'equazione (3) si fa scomparire il primo termine nell'equazione (3) e rimane l'equazione

mwawq y 2 a 2 − − 2 a b x − − b 2 = 0. {\displaystyle {y^{2} \over a^{2}}-{2 \over a}bx-b^{2}=0.}

Moltiplicando entrambi i membri per mwawyamwawc2,

mwawo y 2 − − 2 a b x − − a 2 b 2 = 0 ; {\displaystyle y^{2}-2abx-a^{2}b^{2}=0;}

a questo punto si può trovare un'espressione per la mwawwx:

mwaw8 x = 1 2 a b y 2 − − a b 2 . ( 5 ) {\displaystyle x={1 \over 2ab}y^{2}-{ab \over 2}.\qquad \qquad (5)}

L'equazione (5) descrive una mwaxeparabola il cui asse è parallelo all'asse delle mwaxix. Altre versioni dell'equazione (5) si possono ottenere ruotando il piano intorno all'asse delle mwaxmz.

Si individua un'ellisse quando la somma degli angoli mwaxy θ θ {\displaystyle \theta } e mwaxc ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è inferiore a un mwaxgangolo retto, dunque un mwaxkangolo acuto:

mwaxw θ θ + ϕ ϕ < π π 2 , (ellisse) . {\displaystyle \theta +\phi <{\pi \over 2},\qquad \qquad {\text{(ellisse)}}.}

In tal caso la tangente della somma dei due angoli è positiva.

mwaya tan ⁡ ⁡ ( θ θ + ϕ ϕ ) > 0. {\displaystyle \tan(\theta +\phi )>0.}

Ricordiamo ora la mwayiidentità trigonometrica

mwayu tan ⁡ ⁡ ( θ θ + ϕ ϕ ) = tan ⁡ ⁡ θ θ + tan ⁡ ⁡ ϕ ϕ 1 − − tan ⁡ ⁡ θ θ tan ⁡ ⁡ ϕ ϕ ; {\displaystyle \tan(\theta +\phi )={\tan \theta +\tan \phi \over 1-\tan \theta \tan \phi };}

questa implica

mwayk tan ⁡ ⁡ ( θ θ + ϕ ϕ ) = m + a 1 − − m a > 0. ( 6 ) {\displaystyle \tan(\theta +\phi )={m+a \over 1-ma}>0.\qquad \qquad (6)}

Ma mwaysm + a è positivo, in quanto è la somma di due numeri positivi; quindi la disuguaglianza (6) è positiva se anche il denominatore è positivo:

mway4 1 − − m a > 0. ( 7 ) {\displaystyle 1-ma>0.\qquad \qquad (7)}

Dalla disuguaglianza (7) si deducono:

mwazi m a < 1 ; {\displaystyle ma<1;}

mwazq m 2 a 2 < 1 ; {\displaystyle m^{2}a^{2}<1;}

mwazy 1 − − m 2 a 2 > 0 ; {\displaystyle 1-m^{2}a^{2}>0;}

mwazg 1 m 2 a 2 > 1 ; {\displaystyle {1 \over m^{2}a^{2}}>1;}

mwazo 1 m 2 a 2 − − 1 > 0 ; {\displaystyle {1 \over m^{2}a^{2}}-1>0;}

mwazw 1 a 2 − − m 2 > 0 (ellisse) . {\displaystyle {1 \over a^{2}}-m^{2}>0\qquad \qquad {\text{(ellisse)}}.}

Riprendiamo ancora l'equazione (3),

mwaaa x 2 ( 1 a 2 − − m 2 ) + y 2 a 2 − − 2 m b x − − b 2 = 0 , ( 3 ) {\displaystyle x^{2}\left({1 \over a^{2}}-m^{2}\right)+{y^{2} \over a^{2}}-2mbx-b^{2}=0,\qquad \qquad (3)}

ma questa volta assumiamo che il coefficiente di mwaaixmwaam2 non si annulli ma sia invece positivo. Risolviamo per la mwaaqy:

mwaac y = a b 2 + 2 m b x − − x 2 ( 1 a 2 − − m 2 ) . ( 8 ) {\displaystyle y=a{\sqrt {b^{2}+2mbx-x^{2}\left({1 \over a^{2}}-m^{2}\right)}}~.\qquad \qquad (8)}

Questa equazione descriverebbe chiaramente un'ellisse, se non fosse presente il secondo termine sotto il segno di radice, mwaak 2 m b x {\displaystyle 2mbx} : sarebbe l'equazione di una circonferenza dilatata proporzionalmente secondo le direzioni dell'asse delle mwaaox e dell'asse delle mwaasy. L'equazione (8) in effetti individua un'ellisse ma in modo non evidente; quindi occorre manipolarla ulteriormente per convincersi di questo fatto. Completiamo il quadrato sotto il segno di radice:

mwaa4 y = a b 2 − − [ x 1 a 2 − − m 2 − − b 1 a 2 m 2 − − 1 ] 2 + ( b 2 1 a 2 m 2 − − 1 ) . {\displaystyle y=a{\sqrt {b^{2}-\left[x{\sqrt {{1 \over a^{2}}-m^{2}}}-{b \over {\sqrt {{1 \over a^{2}m^{2}}-1}}}\right]^{2}+\left({b^{2} \over {1 \over a^{2}m^{2}}-1}\right)}}.}

Raccogliamo i termini in mwababmwabe2:

mwabq y = a b 2 ( 1 + 1 1 a 2 m 2 − − 1 ) − − [ x 1 a 2 − − m 2 − − b 1 a 2 m 2 − − 1 ] 2 . {\displaystyle y=a{\sqrt {b^{2}\left(1+{1 \over {1 \over a^{2}m^{2}}-1}\right)-\left[x{\sqrt {{1 \over a^{2}}-m^{2}}}-{b \over {\sqrt {{1 \over a^{2}m^{2}}-1}}}\right]^{2}}}.}

Dividiamo per mwabya ed eleviamo al quadrato entrambi i membri:

mwabk y 2 a 2 + ( x 1 a 2 − − m 2 − − b 1 a 2 m 2 − − 1 ) 2 = b 2 ( 1 + 1 1 a 2 m 2 − − 1 ) . {\displaystyle {y^{2} \over a^{2}}+\left(x{\sqrt {{1 \over a^{2}}-m^{2}}}-{b \over {\sqrt {{1 \over a^{2}m^{2}}-1}}}\right)^{2}=b^{2}\left(1+{1 \over {1 \over a^{2}m^{2}}-1}\right).}

La mwabsx presenta un coefficiente, mentre è opportuno far scomparire tale componente raccogliendolo a fattore fuori del secondo termine che è un quadrato:

mwab4 y 2 a 2 + ( 1 a 2 − − m 2 ) ( x − − b ( 1 a 2 m 2 − − 1 ) ( 1 a 2 − − m 2 ) ) 2 = b 2 ( 1 + 1 1 a 2 m 2 − − 1 ) . {\displaystyle {y^{2} \over a^{2}}+\left({1 \over a^{2}}-m^{2}\right)\left(x-{b \over {\sqrt {\left({1 \over a^{2}m^{2}}-1\right)\left({1 \over a^{2}}-m^{2}\right)}}}\right)^{2}=b^{2}\left(1+{1 \over {1 \over a^{2}m^{2}}-1}\right).}

Un'ulteriore manipolazione delle costanti finalmente conduce a

mwaci y 2 1 − − a 2 m 2 + ( x − − m b 1 a 2 − − m 2 ) 2 = a 2 b 2 ( 1 − − a 2 m 2 ) 2 . {\displaystyle {y^{2} \over 1-a^{2}m^{2}}+\left(x-{mb \over {1 \over a^{2}}-m^{2}}\right)^{2}={a^{2}b^{2} \over (1-a^{2}m^{2})^{2}}.}

Il coefficiente del termine in mwacqy è positivo (per un'ellisse). Cambiando i nomi dei coefficienti e delle costanti ci conduce a

mwacc y 2 A + ( x − − C ) 2 = R 2 , ( 9 ) {\displaystyle {y^{2} \over A}+(x-C)^{2}=R^{2},\qquad \qquad (9)}

che è chiaramente l'equazione di un'ellisse. In altri termini, l'equazione (9) descrive una circonferenza di raggio mwackR e centro mwaco(C,0) che viene poi dilatata verticalmente per un fattore mwacs A {\displaystyle {\sqrt {A}}} . Il secondo termine del membro a sinistra (il termine nella mwacwx) non ha coefficiente ma è un quadrato, quindi deve essere positivo. Il raggio è un prodotto di quadrati e quindi deve essere anch'esso positivo. Il primo termine del membro a sinistra (il termine in mwac0y) ha un coefficiente positivo, e dunque l'equazione descrive un'mwac4ellisse.

L'intersezione del cono con il piano mwadeP fornisce un'iperbole quando la somma degli angoli mwadi θ θ {\displaystyle \theta } e mwadm ϕ ϕ {\displaystyle \phi } è un angolo ottuso, dunque maggiore di un angolo retto. La tangente di un angolo ottuso è negativa e tutte le disuguaglianze trovate per l'ellisse vengono cambiate nelle loro opposte. Quindi si ottiene

mwady 1 − − a 2 m 2 < 0 (iperbole) . {\displaystyle 1-a^{2}m^{2}<0\qquad \qquad {\text{(iperbole)}}.}

Di conseguenza per l'iperbole si trova l'equazione che differisce da quella trovata per l'ellisse solo per avere negativo il coefficiente mwadgA del termine in mwadky. Questo cambiamento di segno fa passare da un'ellisse ad un'mwadoiperbole. Il collegamento fra ellissi e iperbole può descriversi anche osservando che l'equazione di un'ellisse con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'iperbole con una coordinata immaginaria e, simmetricamente, che l'equazione di un'iperbole con coordinate reali può interpretarsi come l'equazione di un'ellisse con una coordinata immaginaria (vedere mwadsnumero immaginario). Il cambiamento di segno del coefficiente mwadwA equivale allo scambio fra valori reali e immaginari della funzione della forma mwad0y=f(x) che si legge nell'equazione (9).

Un mwaeepiano affine mwaeieuclideo può essere esteso introducendo dei mwaempunti impropri, intesi come mwaeqclassi di equivalenza di rette parallele. Tale ampliamento produce il mwaeupiano proiettivo reale mwaeyPmwaec2(mwaeg R {\displaystyle \mathbb {R} } ) e si può cambiare il mwaekcampo in quello dei numeri complessi. Nel piano proiettivo complesso mwaeoPmwaes2(mwaew C {\displaystyle \mathbb {C} } ) così costruito le coniche vengono unificate e distinte tra loro tramite mwae0trasformazioni lineari proiettive.

Una conica reale non degenere è un'ellisse se interseca la retta impropria in due punti complessi e coniugati; è una parabola se la interseca in un unico punto reale; è un'iperbole se la interseca in due punti reali e distinti.

• mwafiGiuseppe Vaccaro, mwafmProf. Ord. Università La Sapienza di Roma, Lezioni di geometria e algebra lineare - 2ª ed. - Veschi, Roma

• mwafcFuoco

• mwafkQuadrica

• mwafsRappresentazione matriciale delle coniche

• mwaf0Funzione quadratica

• mwaf8Confocale

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su sezione conica

• citerefenciclopedia-della-matematicasezione conica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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